已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.

1. (2024高二下·联合期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 右支上两点，且点 $\text{[math]}$ 在第一象限，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）证明：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点；
5. （3）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 的值.