【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材想页《矩形的性质与判定》给出直角三角形的斜边中线定理．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．上述定理的部分推理过程如下：已知：如图1，在中，，为斜边上的中线．求证：．证明：如图2，延长

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1. (2024九下·九江期中) 【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材想 $\text{[math]}$ 页《矩形的性质与判定》给出直角三角形的斜边中线定理．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．上述定理的部分推理过程如下：
已知：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为斜边 $\text{[math]}$ 上的中线．
求证： $\text{[math]}$ ．
证明：如图2，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）【定理探索】请结合图2将证明过程补完整；
3. （2）【问题解决】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是高， $\text{[math]}$ 是中线，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为垂足，若 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的度数；
5. （3）【应用探究】如图4， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请自接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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