已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.

1. (2024高三下·开平模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 $\text{[math]}$ ，定义集合 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为集合 $\text{[math]}$ 中的元素个数，若 $\text{[math]}$ 时，规定 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
5. （3）设集合 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .

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1. (2024高三下·开平模拟) 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ， 定义集合 ， 设为集合中的元素个数，若时，规定.