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高中数学
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解答题
1.
(2024高二下·江门月考)
青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用,衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率
考察图所示的光滑曲线
:
上的曲线段
, 其弧长为
, 当动点从
沿曲线段
运动到
点时,
点的切线
也随着转动到
点的切线
, 记这两条切线之间的夹角为
它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差
显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义
为曲线段
的平均曲率;显然当
越接近
, 即
越小,
就越能精确刻画曲线
在点
处的弯曲程度,因此定义曲线
在点
处的曲率计算公式为
, 其中
.
(1) 求单位圆上圆心角为
的圆弧的平均曲率;
(2) 已知函数
, 求曲线
的曲率的最大值;
(3) 已知函数
, 若
,
曲率为
时
的最小值分别为
,
, 求证:
.
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