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  • 1. (2024高二下·江门月考) 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用,衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率考察图所示的光滑曲线上的曲线段 , 其弧长为 , 当动点从沿曲线段运动到点时,点的切线也随着转动到点的切线 , 记这两条切线之间的夹角为它等于的倾斜角与的倾斜角之差显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义为曲线段的平均曲率;显然当越接近 , 即越小,就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度,因此定义曲线在点处的曲率计算公式为 , 其中

    1. (1) 求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率;
    2. (2) 已知函数 , 求曲线的曲率的最大值;
    3. (3) 已知函数 , 若曲率为的最小值分别为 , 求证:

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