在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．

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1. (2024七下·罗湖期末) 在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．
1. （1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．根据图形1用几何语言写出该定理
  ①∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，
  ∴                                  ，                             ；
  ②在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的周长为32， $\text{[math]}$ 的周长为23，则 $\text{[math]}$ 的长为                ．
3. （2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．
  已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且点D是 $\text{[math]}$ 的中点．求证： $\text{[math]}$ ．
  方法一：如图2，延长 $\text{[math]}$ 到点E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
  方法二：如图3，过点D分别作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为E，F．
5. （3）【拓展延伸】如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点F，过点B作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点H，设 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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