如图，在中，，于点D ，，，点P从点B出发，在线段BC上以每秒的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H ，当点P到达点C

1. (2024·水磨沟模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从点B出发，在线段BC上以每秒 $\text{[math]}$ 的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H ，当点P到达点C ，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （用含t的式子表示）．
3. （2）在整个运动过程中，所形成的 $\text{[math]}$ 的面积存在最大值，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求线段BP的长；
5. （3）是否存在某一时刻t ，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

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