1. (2024高二下·湖北期末) 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为 ， 通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 ， 通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.

1. （1） 求学生小杰获得奖品的概率；
3. （2） 已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
5. （3） 求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.