如图，三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，点在底面内的射影为的垂心.

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1. (2024高二下·湖北月考) 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 内的射影为 $\text{[math]}$ 的垂心.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 取何值时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值最大？

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