问题背景定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．

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1. (2024八下·隆回期末) 问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是 $\text{[math]}$ ，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是一条对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的互补三角形．
1. （1）初步思考：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形．则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的互补三角形是，并说明理由．
3. （2）实践应用：如图 $\text{[math]}$ ，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 互补三角形，试求 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3）思维探究：如图 $\text{[math]}$ ，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 是平面内一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的互补三角形，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的长度是否会相等？若相等，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长；若不相等，请说明理由．

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湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷