如图，在矩形中，，， F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．

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1. (2023九上·新会期中) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 边交于点E．
1. （1）当F为 $\text{[math]}$ 的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
3. （2）当k为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大，最大面积是多少？

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