在绿化公园时,需要安装一定数量的自动喷洒装置,定时喷水养护,某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪(如图1)中安装自动喷洒装置,为了既节约安装成本,又尽可能提高喷洒覆盖率,需要设计合适的安装方案.
说明:一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面.喷洒覆盖率 , s为待喷洒区域面积,k为待喷洒区域中的实际喷洒面积.
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.
【探索发现】
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(1)
如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置,该方案的喷洒覆盖率ρ=.
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(2)
如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为
的自动喷洒装置;如图4,设计安装9个喷洒半径均为3
m的自动喷洒装置;…,以此类推,如图5,设计安装
n2个喷洒半径均为
的自动喷洒装置.与(1)中的方案相比,采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案,能否提高喷洒覆盖率?请判断并给出理由.
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(3)
如图6所示,该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案,且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ=1.已知AE=BF=CG=DH , 设AE=x(m),⊙O1的面积为y(m2),求y关于x的函数表达式,并求当y取得最小值时r的值.
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(4)
【问题解决】
该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个,至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ=1?(直接写出结果即可)
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