一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）
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-
2.
(2024·潍坊)
2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（ ）
A . 1.267×105
B . 1.267×106
C . 1.267×107
D . 126.7×104
-
3.
(2024·潍坊)
某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
-
4.
(2024·潍坊)
中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A . 100min，50℃
B . 120min，50℃
C . 100min，55℃
D . 120min，55℃
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5.
(2024·潍坊)
一种路灯的示意图如图所示，其底部支架
AB与吊线
FG平行，灯杆
CD与底部支架
AB所成锐角α＝15°．顶部支架
EF与灯杆
CD所成锐角β＝45°，则
EF与
FG所成锐角的度数为（ ）
A . 60°
B . 55°
C . 50°
D . 45°
-
6.
(2024·潍坊)
已知关于
x的一元二次方程
x2﹣
mx﹣
n2+
mn+1＝0，其中
m ，
n满足
m﹣2
n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A . 无实数根
B . 有两个相等的实数根
C . 有两个不相等的实数根
D . 无法确定
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
-
A . 若a＝b ， 则ac＝bc
B . 若a＞b ， 则ac＞bc
C . 两个有理数的积仍为有理数
D . 两个无理数的积仍为无理数
-
8.
(2024·潍坊)
如图，圆柱的底面半径为
， 高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（ ）
A . 体积为π
B . 母线长为1
C . 侧面积为
D . 侧面展开图的周长为
-
9.
(2024·潍坊)
如图，已知抛物线
y＝
ax2+
bx+
c的对称轴是直线
x＝1，且抛物线与
x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（ ）
A . a﹣b+c＞0
B . 该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）
C . 若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2
D . 对任意实数n ， 不等式an2+bn≤a+b总成立
-
10.
(2024·潍坊)
如图，⊙
O是△
ABC的外接圆，
AO∥
BC ， 连接
CO并延长交⊙
O于点
D ． 分别以点
A ，
C为圆心，以大于
的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点
M ． 直线
OM交
BC于点
E ， 连接
AE ， 下列结论一定正确的是（ ）
A . 
B . AB＝OE
C . ∠AOD＝∠BAC
D . 四边形AOCE为菱形
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）
-
11.
(2024·潍坊)
请写出同时满足以下两个条件的一个函数：
．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．
-
12.
(2024·潍坊)
如图，在直角坐标系中，等边三角形
ABC的顶点
A的坐标为（0，4），点
B ，
C均在
x轴上．将△
ABC绕顶点
A逆时针旋转30°得到△
AB'C' ， 则点
C'的坐标为
．
-
13.
(2024·潍坊)
小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
．
-
14.
(2024·潍坊)
将连续的正整数排成如图所示的数表．记
a（i ， j）为数表中第
i行第
j列位置的数字，如
a（1 ， 2）＝4，
a（3 ， 2）＝8，
a（5 ， 4）＝22．若
a（m ， n）＝2024，则
m＝
，
n＝
．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
-
-
（1）
计算：
；
-
（2）
先化简，再求值：
， 其中
．
-
16.
(2024·潍坊)
如图，在矩形
ABCD中，
AB＞2
AD ， 点
E ，
F分别在边
AB ，
CD上．将△
ADF沿
AF折叠，点
D的对应点
G恰好落在对角线
AC上；将△
CBE沿
CE折叠，点
B的对应点
H恰好也落在对角线
AC上．连接
GE ，
FH ．
求证：
-
-
-
17.
(2024·潍坊)
如图，正比例函数
的图象与反比例函数
的图象的一个交点是
． 点
在直线
上，过点
P作
y轴的平行线，交
的图象于点
Q ．
-
-
-
18.
(2024·潍坊)
在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款
T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
-
（1）
【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
-
（2）
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 | 统计量 |
中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
甲商家 | a | 3 | 3.5 | 1.05 |
乙商家 | 4 | b | 
| 1.24 |
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
-
19.
(2024·潍坊)
2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本
P（万元）与隔热层厚度
x（
cm）满足函数表达式：
P＝10
x ． 预计该商场每年的能源消耗费用
T（万元）与隔热层厚度
x（
cm）满足函数表达式：
， 其中0≤
x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为
y（万元）．
-
（1）
若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
-
（2）
已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2 ， 当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．
-
20.
(2024·潍坊)
如图，已知△
ABC内接于⊙
O ，
AB是⊙
O的直径，∠
BAC的平分线交⊙
O于点
D ， 过点
D作
DE⊥
AC ， 交
AC的延长线于点
E ， 连接
BD ，
CD ．
-
-
（2）
若
CE＝1，
， 求⊙
O的直径．
-
21.
(2024·潍坊)
在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量
y（单位：
kW•
h•10
﹣1•
m﹣2•
d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角
x°（0≤
x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
-
-
（2）
该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
-
（3）
图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠
AGD为太阳能板
AB与水平地面
GD的夹角，
CD为支撑杆．已知
AB＝2
m ，
C是
AB的中点，
CD⊥
GD ． 在
GD延长线上选取一点
M ， 在
D ，
M两点间选取一点
E ， 测得
EM＝4
m ， 在
M ，
E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端
A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1
m ． 求支撑杆
CD的长．（精确到0.1
m ， 参考数据：
，
）
-
22.
(2024·潍坊)
【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率
， s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
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（1）
如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝．
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（2）
如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为
的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3
m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装
n2个喷洒半径均为
的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
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（3）
如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH ， 设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
-
（4）
【问题解决】
该公司现有喷洒半径为
的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
