已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．

1. (2024九下·龙华模拟) 已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3）在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
7. （4）连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．