人教版数学九年级全册知识点训练营——二次函数的存在性问题

更新时间：2024-10-22 浏览次数：3 类型：复习试卷

一、角度存在性

1. (2024九上·东阳月考) 综合与实践：
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）小明探究点 $\text{[math]}$ 位置时发现：如图1，点 $\text{[math]}$ 在第一象限内的抛物线上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积存在最大值，请帮助小明求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
3. （3）小明进一步探究点 $\text{[math]}$ 位置时发现：点 $\text{[math]}$ 在抛物线上移动，连结 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，请帮助小明求出 $\text{[math]}$ 时点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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2. (2024九上·垫江县月考) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C三点．
1. （1）试求抛物线的解析式；
2. （2）若P点在第一象限的抛物线上，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点P的坐标．
3. （3）点 $\text{[math]}$ 在第一象限的抛物线上，连接 $\text{[math]}$ ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足 $\text{[math]}$ ？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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3. (2024九上·哈尔滨月考) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于点A、B，且 $\text{[math]}$ ，交y轴于点C．
1. （1）求抛物线解析式；
2. （2）点G为第一象限抛物线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点G作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点H，设 $\text{[math]}$ 长为d，点G的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）．
3. （3）在（2）的条件下，点F坐标为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求点G的坐标．
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4. (2024九上·武汉月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出A、B、C三点坐标；
2. （2）在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ．若D是抛物线上第四象限上一点，且 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；
3. （3）如图2，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接 $\text{[math]}$ ，分别交y轴于P、Q两点，求 $\text{[math]}$ 的值．
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5. (2024九上·哈尔滨开学考) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，点 $\text{[math]}$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为S，求S与 $\text{[math]}$ 的函数关系式（不要求写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为抛物线第三象限上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标．
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二、线段定值（或比值）

6. (2024·天津) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，对称轴与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上， $\text{[math]}$ 为坐标原点．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求该抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 是抛物线上的点，且点 $\text{[math]}$ 在第四象限， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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7. (2024·成都一诊) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C ，对称轴为x＝1．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）如图1，连接BC ，点D在直线BC上方的抛物线上，过点D作BC的垂线交BC于点E ，作y轴的平行线交BC于点F ．若CE＝3EF ，求线段DF的长；
3. （3）直线y＝﹣x+m（m＜4）与抛物线交于P ， Q两点（点P在点Q左侧），直线PC与直线BQ的交点为S ， △OCS的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
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8. (2024九下·汨罗竞赛) 如图1，已知二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴的负半轴交于点C ．
1. （1）求这个函数的解析式；
2. （2）点P是抛物线上位于第四象限内的一点，当△PBC的面积最大时，点P的坐标，并求出最大面积；
3. （3）如图2，点T是抛物线上一点，且点T与点C关于抛物线的对称轴对称，过点T的直线TS与抛物线有唯一的公共点，直线MN∥TS交抛物线于M ， N两点，连AM交y轴正半轴于G ，连AN交y轴负半轴于H ，求OH﹣OG ．
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9. (2024·舟山模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为顶点.
1. （1）请求出二次函数的表达式及图象的顶点 $\text{[math]}$ 的坐标.
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴左侧一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴平行线交对称轴于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试用 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ .
3. （3）连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交对称轴于点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$
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10. (2024九下·潮阳模拟) 如图所示，抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c的图象与x轴交于点A（－1，0）与点B.与y轴交于点C（0，2）
点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴.
1. （1）求抛物线和直线BC的表达式，并求出点D的坐标；
2. （2）如图所示，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM，交BC于点A过点作x轴的平行线，交直线BC于点G，设点M的横坐标为m.
  ①求用含m的代数式表示线段MG的长；
  ②求 $\text{[math]}$ 的最大值
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三、特殊三角形

11. (2024九上·番禺月考) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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12. (2024九上·岳麓开学考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线于点 $\text{[math]}$ 、交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）分别求直线 $\text{[math]}$ 和这条抛物线的解析式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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13. (2024九上·新会开学考) 综合运用
已知，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C ，顶点为E ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点D ，在抛物线对称轴上找点P ，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标；（不需要证明）
3. （3）如图2，点F在对称轴上，以点F为圆心过A、B两点的圆与直线CE相切，求点F的坐标．
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14. (2024九下·黄浦月考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
2. （2）点P为线段 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的一动点，过点P作 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点E，F为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求：点P的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，将抛物线 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移，得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，新抛物线和原抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
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四、特殊四边形

15. (2024九上·青秀月考) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点B，且与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点E．
1. （1）求抛物线的表达式：
2. （2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
3. （3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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16. (2024九下·宝山模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
2. （2）分别联结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当此直线将四边形 $\text{[math]}$ 的面积平分时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）设点 $\text{[math]}$ 为该抛物线对称轴上的一点，当以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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17. (2024九上·长沙月考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 与y轴交于C，与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，作直线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）如图，点D是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交 $\text{[math]}$ 于点E，当线段 $\text{[math]}$ 的长度取最大时，求点D的坐标；
3. （3）在（2）中 $\text{[math]}$ 取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
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18. (2024九下·岳阳期末) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点 $\text{[math]}$ ．已知点B坐标为 $\text{[math]}$ ，点C坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点P是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一点，过点P作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点H，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点Q，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值及此时点P的坐标；
3. （3）如图2，将抛物线向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴 $\text{[math]}$ 上一点，N为平面内一点，使得以 $\text{[math]}$ 为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标．
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19. (2024九下·松原模拟) 如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式；
2. （2）求点A的坐标；
3. （3）如图2，过点C作 $\text{[math]}$ 轴于点D，点P为线段 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点G，交线段 $\text{[math]}$ 于点F，设点P的横坐标为m．
  ①求线段 $\text{[math]}$ 的长（用含m的代数式表示）；
  ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值．
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20. (2024九下·邛崃模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C，与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B（点A在点B的左侧）．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）无论a取何值，抛物线 $\text{[math]}$ 一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求点H的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（ $\text{[math]}$ ），使得以 $\text{[math]}$ 为顶点且以 $\text{[math]}$ 为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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五、相似三角形

21. (2024九下·昆明开学考) 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于 $\text{[math]}$ 两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
1. （1）求抛物线的解析式，点C及顶点M的坐标．
2. （2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点E，若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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22. (2024九下·涪城模拟) 如图，已知抛物线y=ax²-4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P为抛物线上点，当PB=PC时，求点P坐标；
（3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标．

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23. (2024九下·龙华模拟) 已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
4. （4）连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．
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24. (2024九下·涟水模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C．
1. （1）求这个二次函数的表达式；
2. （2）作直线 $\text{[math]}$ ，分别交x轴、线段 $\text{[math]}$ 、抛物线于D、E、F三点，连接 $\text{[math]}$ ，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；
3. （3）点M为y轴负半轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N．在抛物线平移过程中，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，试求 $\text{[math]}$ 的面积．
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