在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”，例如、、都是“不动点”，已知双曲线．

1. (2023九下·禅城模拟) 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”，例如 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是“不动点”，已知双曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 上的“不动点”；
3. （2）若抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数）上有且只有一个“不动点”．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②如果 $\text{[math]}$ ，过双曲线 $\text{[math]}$ 图象上第一象限的“不动点”作平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ ，若抛物线上有四个点到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．