已知点P为正方形边上一动点，将沿翻折，得，已知正方形的边长满足方程．

1. (2024九上·荆门月考) 已知点P为正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得 $\text{[math]}$ ，已知正方形的边长满足方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求正方形 $\text{[math]}$ 的边长；
3. （2）如图1，若点P为 $\text{[math]}$ 中点，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．
  ①求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②连 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点G，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）点M在边 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，点N为 $\text{[math]}$ 中点．若点P在射线 $\text{[math]}$ 上从B点向下运动，到 $\text{[math]}$ 取得最大值时，请直接写出点P的运动路径长．