如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作于点D，以、为邻边作矩形．

1. (2024九上·长春月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿折线 $\text{[math]}$ 向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作 $\text{[math]}$ 于点D，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ．
1. （1）线段 $\text{[math]}$ 的长为______；
3. （2）当矩形 $\text{[math]}$ 恰好是正方形时，求该正方形的边长；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
7. （4）延长 $\text{[math]}$ 到点Q，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当直线 $\text{[math]}$ 分矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 两部分时直接写出 $\text{[math]}$ 的长．