如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒．（1）线段MP的长为____

1. (2024九上·长春月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作 $\text{[math]}$ ，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MP的长为________（用含t的代数式表示）．
（2）当点M与点C重合时，求t的值．
（3）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为S（ $\text{[math]}$ ），求S与t之间的函数关系式．
（4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将 $\text{[math]}$ 分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值．

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