如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点G．

1. (2024九上·石家庄月考) 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上任意一点，现将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，点A对应点为点G．
1. （1）如图2，当 $\text{[math]}$ ，且点G落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）如图3，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．