如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直．【感知】如图①，若点F与点C重合，则的长为_________

1. (2024九上·长春期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将一块直角三角板中 $\text{[math]}$ 角的顶点D放在 $\text{[math]}$ 边上移动，使 $\text{[math]}$ 角的两边分别与 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 相交于点E、F，且使 $\text{[math]}$ 始终与 $\text{[math]}$ 垂直．
【感知】如图①，若点F与点C重合，则 $\text{[math]}$ 的长为__________；
【探究】如图②，若移动点D，使 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
【拓展】如图③，延长 $\text{[math]}$ 交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为__________．

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