如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且， E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．

1. (2024九上·广州月考) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， E是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点E作直线 $\text{[math]}$ 垂直于x轴交直线 $\text{[math]}$ 和抛物线分别于点D、F．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段 $\text{[math]}$ 有最大值，并写出最大值为多少；
5. （3）若点P是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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1. (2024九上·广州月考) 如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为 ， 且 ， E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．