如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接、， A、C两点的坐标分别为．且当和时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止

1. (2024九上·义乌月考) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， A、C两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ．且当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿MN翻折得到 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求二次函数的解析式；
3. （2）若点P恰好落在 $\text{[math]}$ 边上，求t的值及点P的坐标；
5. （3）在点M、N运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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