1. (2024九上·重庆市期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC， ， 对称轴为直线 ， 点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；

（3）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．