当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我

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1. (2024高三上·湖北模拟) 当一个函数值域内任意一个函数值 $\text{[math]}$ 都有且只有一个自变量 $\text{[math]}$ 与之对应时，可以把这个函数的函数值 $\text{[math]}$ 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 $\text{[math]}$ 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，通常用 $\text{[math]}$ 表示自变量，则写成 $\text{[math]}$ ，我们称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为反函数.已知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为反函数，若 $\text{[math]}$ 两点在曲线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 两点在曲线 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则我们称这个矩形为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“关联矩形”.
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上.
  （i）求曲线 $\text{[math]}$ 在点A处的切线方程；
  （ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.
3. （2）若函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明： $\text{[math]}$ .（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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