如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接．

1. (2024九上·重庆市期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）如图2，点Q是线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点Q作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度取得最大值时，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
5. （3）如图2，在（2）线段 $\text{[math]}$ 长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 的方向移动 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到新的抛物线 $\text{[math]}$ ，求出新抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式．抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点K，新抛物线 $\text{[math]}$ 上是否存在动点N，使得 $\text{[math]}$ ，若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．