对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.

1. (2024高一上·高州期中) 对于定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，如果存在区间 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是单调函数.且函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值域是 $\text{[math]}$ ，则称区间 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“优美区间”.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“优美区间”；
3. （2）如果函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在“优美区间”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）如果 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“优美区间”，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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1. (2024高一上·高州期中) 对于定义域为的函数 ， 如果存在区间 ， 使得在区间上是单调函数.且函数 ， 的值域是 ， 则称区间是函数的一个“优美区间”.