如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， B（点A在点B的左侧），交y轴于点，点D为抛物线的顶点．

1. (2024九上·荆门月考) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， B（点A在点B的左侧），交y轴于点 $\text{[math]}$ ，点D为抛物线的顶点．
1. （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
3. （2）已知经过点A的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线在第一象限交于点E，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点E的坐标；
5. （3）如图2，Q为y轴负半轴上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转一定的角度 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点G，问在旋转过程中是否存在某个位置使得 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．