某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”如图1，在长方形中，，是对角线，

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1. (2024九上·惠州期中) 某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：
新定义：把长方形 $\text{[math]}$ 绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”如图1，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线，
1. （1）如图1，把长方形 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针作“对角旋转”，使边 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上，此时点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 度数为 $\text{[math]}$ ，请直接写出“对角旋转角”的度数；（用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示）
3. （2）在（1）的条件下，如 $\text{[math]}$ ，那么把长方形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针作“对角旋转”，使边 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数；
5. （3）在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积为312， $\text{[math]}$ 面积为130，请直接写出此时长方形 $\text{[math]}$ 的面积．

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新定义型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习