如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ．

1. (2024九上·中山期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交 x 轴于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，交 y 轴于点 C．一次函数 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 M，求出 $\text{[math]}$ 的最大值及相应的点 P 的坐标；
5. （3）将抛物线沿着射线 AE 方向平移了 $\text{[math]}$ 个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

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1. (2024九上·中山期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ．