如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）．

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1. (2018九上·嘉兴月考) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A、B和D（4， $\text{[math]}$ ）．
1. （1）求抛物线的表达式．
3. （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）．
  ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
  ②当S取 $\text{[math]}$ 时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

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