湖北省荆州市2018届高三理数质量检查考试试卷（三）

更新时间：2018-06-15 浏览次数：1135 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2018·荆州模拟) 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2018·荆州模拟) 若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，其中 $\text{[math]}$ 是实数，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2018·荆州模拟) 下列命题正确的是（）

A . 命题“ $\text{[math]}$ ”为假命题，则命题 $\text{[math]}$ 与命题 $\text{[math]}$ 都是假命题； B . 命题“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”的逆否命题为真命题； C . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”成立的必要不充分条件； D . 命题“存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ”的否定是：“对任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ”.

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4. (2018·荆州模拟) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 $\text{[math]}$ 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）
注： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

A . 6038 B . 6587 C . 7028 D . 7539

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5. (2018·荆州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2018·荆州模拟) 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵” $\text{[math]}$ 的所有顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上，且 $\text{[math]}$ ，若球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ ，则这个三棱柱的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. (2018·荆州模拟) 偶函数 $\text{[math]}$ 和奇函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的实根个数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 16 B . 14 C . 12 D . 10

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8. (2018·荆州模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A . 14 B . 15 C . 16 D . 17

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9. (2018·荆州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -5 B . -20 C . 15 D . 35

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10. (2018·荆州模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 12

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11. (2018·荆州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆 $\text{[math]}$ 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2018·荆州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在关于 $\text{[math]}$ 轴对称的点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2018·荆州模拟) 平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2018·荆州模拟) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点相同，离心率为 $\text{[math]}$ ，则此椭圆的方程为．

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15. (2018·荆州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足不等式组 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. (2018·荆州模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若使得 $\text{[math]}$ ，则正整数 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. (2018·荆州模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称.
（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式，并求 $\text{[math]}$ 的单调递减区间；
（Ⅱ）在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 外接圆的面积.

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18. (2018·荆州模拟) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一动点.
（Ⅰ）求证：当点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出这个实数 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由.

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19. (2018·荆州模拟) 手机 $\text{[math]}$ 中的“ $\text{[math]}$ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的 $\text{[math]}$ 朋友圈里有大量好友参与了“ $\text{[math]}$ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
男
0
2
4
7
2
女
1
3
7
3
1
（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明 $\text{[math]}$ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有 $\text{[math]}$ 名，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“ $\text{[math]}$ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的 $\text{[math]}$ 列联表，并据此判断能否有 $\text{[math]}$ 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型
消极型
总计
男

女

总计

附： $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
0.10
0.05
0.025
0.01
$\text{[math]}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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20. (2018·荆州模拟) 已知倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线经过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 的两条直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .如果直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的倾斜角互余，求证：直线 $\text{[math]}$ 经过一定点.

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21. (2018·荆州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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22. (2018·荆州模拟) 在极坐标系中，已知圆 $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ .以极点为原点，极轴方向为 $\text{[math]}$ 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.
（Ⅰ）写出圆 $\text{[math]}$ 的极坐标方程和直线 $\text{[math]}$ 的普通方程；
（Ⅱ）若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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23. (2018·荆州模拟) 设不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求集合 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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