2017年高考理数真题试卷（天津卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：1471 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2017·天津) 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　）

A . {2} B . {1，2，4} C . {1，2，4，5} D . {x∈R|﹣1≤x≤5}

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2. (2017·天津) 设变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 3

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3. (2017·天津)
阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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4. (2017·天津) 设θ∈R，则“|θ﹣ $\text{[math]}$ |＜ $\text{[math]}$ ”是“sinθ＜ $\text{[math]}$ ”的（　　）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2017·天津) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 $\text{[math]}$ ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）

A . $\text{[math]}$ =1 B . $\text{[math]}$ =1 C . $\text{[math]}$ =1 D . $\text{[math]}$ =1

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6. (2017·天津) 已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log₂5.1），b=g（2^0.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A . a＜b＜c B . c＜b＜a C . b＜a＜c D . b＜c＜a

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7. (2017·天津) 设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ $\text{[math]}$ ）=2，f（ $\text{[math]}$ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A . ω= $\text{[math]}$ ，φ= $\text{[math]}$ B . ω= $\text{[math]}$ ，φ=﹣ $\text{[math]}$ C . ω= $\text{[math]}$ ，φ=﹣ $\text{[math]}$ D . ω= $\text{[math]}$ ，φ= $\text{[math]}$

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8. (2017·天津) 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| $\text{[math]}$ +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A . [﹣ $\text{[math]}$ ，2] B . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . [﹣2 $\text{[math]}$ ，2] D . [﹣2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

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二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. (2017·天津) 已知a∈R，i为虚数单位，若 $\text{[math]}$ 为实数，则a的值为．

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10. (2020高一上·兰州期末) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．

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11. (2017·天津) 在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ $\text{[math]}$ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．

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12. (2017·天津) 若a，b∈R，ab＞0，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. (2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ （λ∈R），且 $\text{[math]}$ =﹣4，则λ的值为．

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14. (2017·天津) 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）

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三、三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. (2017·天津) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ $\text{[math]}$ ）的值．

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16. (2017·天津) 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

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17. (2017·天津)
如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段AH的长．

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18. (2017·天津) 已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N⁺），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄﹣2a₁ ， S₁₁=11b₄ ．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_2n_﹣₁}的前n项和（n∈N⁺）．

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19. (2017·天津) 设椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 $\text{[math]}$ ．已知A是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 $\text{[math]}$ ，求直线AP的方程．

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20. (2017·天津) 设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x⁴+3x³﹣3x²﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x₀ ， g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x₀）∪（x₀ ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x₀）﹣f（m），求证：h（m）h（x₀）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 $\text{[math]}$ ∈[1，x₀）∪（x₀ ， 2]，满足| $\text{[math]}$ ﹣x₀|≥ $\text{[math]}$ ．

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