小学奥数系列8-2-1抽屉原理（三）-在线组卷

1. 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．

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2. 从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?

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3. 从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.

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4. 从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？

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5. 从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．

证明：

（1）在这51个数中，一定有两个数互质；
（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；
（3）在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．

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6. 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

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7. 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？

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8. 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？

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9. 有苹果和桔子若干个，任意分成 $\text{[math]}$ 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

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10. 在长度是 $\text{[math]}$ 厘米的线段上任意取 $\text{[math]}$ 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于 $\text{[math]}$ 厘米？

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11. 在 $\text{[math]}$ 米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于 $\text{[math]}$ 厘米．

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12. 试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米．

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13. 在 $\text{[math]}$ 米长的水泥阳台上放 $\text{[math]}$ 盆花，随便怎样摆放，至少有几盆花之间的距离不超过 $\text{[math]}$ 米．

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14. 在 $\text{[math]}$ 米长的水泥阳台上放 $\text{[math]}$ 盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于 $\text{[math]}$ 米．

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15. 在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．

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16. 边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.

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17. 在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过 $\text{[math]}$ 。

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18. 在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．

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19. (2019·南开) 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

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20. 在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米。

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21. 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

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22. 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条直线中至少有3 条通过同一个点。

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23. 如图，能否在 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 列的方格表的每一个空格中分别填上 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个数，使得各行各列及对角线上 $\text{[math]}$ 个数的和互不相同？并说明理由．

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24. 在 $\text{[math]}$ 的方格纸中，每个方格纸内可以填上 $\text{[math]}$ 四个自然数中的任意一个，填满后对每个 $\text{[math]}$ “田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

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25. 用数字1，2，3，4，5，6填满一个 $\text{[math]}$ 的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个 $\text{[math]}$ 正方格内的四个数字的和称为这个 $\text{[math]}$ 正方格的“标示数”．问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由．

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26. 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明．

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27. 如下图① ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有多少粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.

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28. 如图 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由.

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29. 如图，分别标有数字 $\text{[math]}$ 的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．

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30. 8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．

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31. 时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．

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32. 如图，在时钟的表盘上任意作 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖 $\text{[math]}$ 个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到 $\text{[math]}$ 个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作 $\text{[math]}$ 个扇形将不能保证上述结论成立．

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33. “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级 $\text{[math]}$ 道题，并且至少有 $\text{[math]}$ 道题与其他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现 $\text{[math]}$ 次．本届活动至少要准备道决赛试题．

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34. 有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？

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35. 有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？

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