2015年北京市人大附中高考数学模拟试卷（三）

更新时间：2016-07-27 浏览次数：1045 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ ，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+n=（　　）

A . 1+2i B . 1﹣2i C . 2+i D . 2﹣i

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2. 原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为(-2，2 $\text{[math]}$ )的点的极坐标是（　　）

A . （4， $\text{[math]}$ ） B . （4， $\text{[math]}$ ） C . （﹣4，﹣ $\text{[math]}$ ） D . （4，﹣ $\text{[math]}$ ）

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3. 在△ABC中，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的（　　）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件

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4. 若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≠0，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（　　）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（﹣2010）+f（2011）的值为（　　）

A . -2 B . -1 C . 1 D . 2

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6.
如图是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是 $\text{[math]}$ ，则？处的关系式是（　　）

A . y= $\text{[math]}$ B . y= $\text{[math]}$ C . y= $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组： $\text{[math]}$ 表示的平面区域的面积是（　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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8.
在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A₁B₁ ， C₁D₁ ， AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（　　）

A . B . C . D .

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二、填空题

9. 代数式（1﹣x）（1+x）⁵的展开式中x³的系数为

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10.
如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为，数据落在（2，10）内的概率约为．

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11. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若c=2，b= $\text{[math]}$ ， A+C=3B，则sinC=

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12.
如图，CE为圆O的直径，PE为圆O的切线，E为切点，PBA为圆O的割线，交CE于D点，CD=2，AD=3，BD=4，则圆O的半径为r= ；PB=

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13. 设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为

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14. 如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x₁ ， x₂ ，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），且存在两个不相等的自变量值y₁ ， y₂ ，使得f（y₁）=f（y₂），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数．
则 ① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ，
③ $\text{[math]}$ ， ④ $\text{[math]}$ ，
四个函数中为不严格增函数的是，若已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A={1，2，3}，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）有个．

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三、解答题

15. 设f（x）=6cos²x﹣ $\text{[math]}$ sin2x，
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足f（α）=3﹣2 $\text{[math]}$ ，求tan $\text{[math]}$ α的值．

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16.
如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，
（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）求证：平面BDF⊥平面ACE；
（3）2AE=EB，在线段AE上找一点P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求AP的长．

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17. 某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i（i=1，2，3）次射击时击中目标得4﹣i分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）求证：不等式 $\text{[math]}$ 对于x∈（1，2）恒成立．

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的离心率e= $\text{[math]}$ ，原点到过A（a，0），B（0，﹣b）两点的直线的距离是 $\text{[math]}$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．

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20. 设a₁ ， a₂ ， …，a_n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f_k是集合{a_i|a_i＜a_k ， i＞k}元素的个数，而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k ， i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f_n=g₁=0，例如：对于排列3，1，2，f₁=2，f₂=0，f₃=0
（I）对于排列4，2，5，1，3，求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最大值，并写出相应得一个排列
（Ⅲ）证明 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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