东北三省四市教研联合体2021届高三理数第二次联合考试试卷

更新时间：2021-04-27 浏览次数：114 类型：高考模拟

一、单选题

1. 定义集合运算： $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的所有元素之和为（）

A . 16 B . 18 C . 14 D . 8

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2. 复数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 6

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3. 割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形 $\text{[math]}$ 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知下列四个命题，其中真命题的个数为（）
①空间三条互相平行的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都与直线 $\text{[math]}$ 相交，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三条直线共面；②若直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图所示，流程图所给的程序运行结果为 $\text{[math]}$ ，那么判断框中所填入的关于 $\text{[math]}$ 的条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的奇函数， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的解析式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 若函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个长度单位后关于点 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值为（）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是球 $\text{[math]}$ 的球面上两点， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作互相垂直的两个平面截球得到圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球的表面积为（）

A . 5π B . 10π C . 15π D . 20π

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12. (2023高二下·鹤壁期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. $\text{[math]}$ ．

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14. 在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是.

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15. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. 在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：
甲：曲线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称；

乙：曲线 $\text{[math]}$ 关于原点对称；

丙：曲线 $\text{[math]}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $\text{[math]}$ ；

丁：曲线 $\text{[math]}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $\text{[math]}$ ；

四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）.

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三、解答题

17. 已知公比大于1的等比数列 $\text{[math]}$ 的前6项和为126，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明：数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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18. 新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：
100位男性居民评分频数分布表

分组

频数

$\text{[math]}$

3

$\text{[math]}$

12

$\text{[math]}$

72

$\text{[math]}$

8

$\text{[math]}$

5

合计

100

100位女性居民评分频数分布表

分组

频数

$\text{[math]}$

5

$\text{[math]}$

15

$\text{[math]}$

64

$\text{[math]}$

7

$\text{[math]}$

9

合计

100

（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）已知男性居民评分 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 表示， $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 表示，求 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关?

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考公式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

$\text{[math]}$

2.706

3.841

5.204

6.635

7.879

10.828

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19. 已知等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）过点 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 与棱锥 $\text{[math]}$ 的面相交，在图中画出交线；设平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的值（不必说出画法和求值理由）；

（Ⅱ）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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20. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率乘积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）设斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，是否存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 为定值，若存在，求出的 $\text{[math]}$ 值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有一个极小值点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以该直角坐标系的原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）分别求曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程和曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的长．

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23. 已知 $\text{[math]}$
（Ⅰ）解不等式 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，如果正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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