高考必做大题03：带电粒子与复合场-在线组卷

1. (2021·新疆模拟) 如图所示，大量的同种粒子从静止经电压 $\text{[math]}$ 加速后。沿虚线方向射入正交的电磁场之中，恰好做直线运动，电场强度方向竖直向下，磁感应强度 $\text{[math]}$ 。方向垂直纸面向里，两平行板之间的距离 $\text{[math]}$ 。平行板右侧有一圆形磁场区域，圆心O在虚线上、半径 $\text{[math]}$ ，圆内有垂直纸面向里的磁场B，B的大小可以调控。边界上有磁场。圆形区域的上方安装有荧光屏，荧光屏与虚线平行。与O的距离 $\text{[math]}$ ，M、N是荧光屏上两点， $\text{[math]}$ 连线与屏垂直，N到M点之间的距离 $\text{[math]}$ 。已知加在平行板间的电压 $\text{[math]}$ ，粒子的比荷为 $\text{[math]}$ 。不计重力的影响，求：

（1）加速电场 $\text{[math]}$ 大小；
（2）要使粒子打到荧光屏上 $\text{[math]}$ 之间，圆形区域内的磁场B范围。

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2. (2021·新疆模拟) 如图，在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和Ⅱ，两电场的边界均是边长为L的正方形，图中OEFG区域也为边长为L的正方形且无电场。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子所受重力。求：

（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置坐标（x，y）；
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置坐标x、y间满足的关系；
（3）若将左侧电场Ⅱ整体水平向右移动 $\text{[math]}$ ，仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置x、y满足的关系。

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3. (2021·淄博模拟) 如图所示，一水平分界线 $\text{[math]}$ 把足够长的竖直边界 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的空间分为上下两部分， $\text{[math]}$ 上方区域存在竖直向下的匀强电场， $\text{[math]}$ 下方区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边界上，距 $\text{[math]}$ 高 $\text{[math]}$ 处分别有P、Q两点。一电荷量为 $\text{[math]}$ 、质量为 $\text{[math]}$ 的带正电的粒子（重力不计）以初速度 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点垂直于边界 $\text{[math]}$ 进入匀强电场，经偏转后从边界 $\text{[math]}$ 进入匀强磁场，并恰好不从边界 $\text{[math]}$ 射出。若匀强电场的电场强度 $\text{[math]}$ 。

（1）求粒子刚进入磁场时的速度 $\text{[math]}$ ；
（2）求匀强磁场的磁感应强度 $\text{[math]}$ ；
（3）调节 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两边界间的距离，使粒子恰好从 $\text{[math]}$ 点离开 $\text{[math]}$ 边界，求粒子从 $\text{[math]}$ 点进入电场到 $\text{[math]}$ 点离开 $\text{[math]}$ 边界运动时间 $\text{[math]}$ 的可能值。

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4. (2021·青岛模拟) 在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图，是离子注入工作原理示意图，离子经电场加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面上的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中匀强磁场的磁感应强度大小均为B。方向均垂直纸向外；速度选择器和偏转系统中匀强电场的电场强度大小均为E，方向分别为竖直向上和直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R₁和R₂的四分之一圆弧，其两端中心位置M和N处各有一小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是一棱长为L的正方体，晶圆放置在偏转系统底面处。当偏转系统不加电场和磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点，O点也是偏转系统底面的中心。以O点为原点建立xOy坐标系，x轴垂纸面向外。整个系统于真空中，不计离子重力，经过偏转系统直接打在晶圆上的离子偏转的角度都很小。已知当 $\text{[math]}$ 很小时，满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。

（1）求离子通过速度选择器后的速度大小v及磁分析器选择出的离子的比荷；
（2）当偏转系统仅加电场时，求离子注入到晶圆上的位置坐标（x₁ ， y₁）；
（3）当偏转系统仅加磁场时，设离子注入到晶圆上的位置坐标为（x₂ ， y₂），请利用题设条件证明：y₂=x₁；
（4）当偏转系统同时加上电场和磁场时，求离子注入到品圆上的位置坐标（x₃ ， y₃），并简要说明理由。

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5. (2021·沈阳模拟) 如图甲所示，真空中有一粒子源，连续不断地放射出带正电的粒子。粒子的初速度很小（可视为零）。粒子经加速电压U₁加速后，从O点沿着偏转电场中线OM射入偏转电场，两偏转极板间的距离为L，所加周期性电压U_ab如图乙所示。偏转极板右侧有宽度为L的足够长匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。磁场右边界是一个足够大的光屏，所有到达光屏的粒子均不再反弹。粒子飞过偏转极板间的时间极短，可认为每个粒子飞过的这段时间里偏转电压几乎不变。已知 $\text{[math]}$ 时刻射入偏转极板间的粒子，轨迹恰好与光屏相切；偏转电压为2U₁时射入偏转极板间的粒子恰好沿着偏转极板上边缘飞出电场。不计粒子重力及粒子之间的相互作用力。求：

（1）偏转极板的长度；
（2）磁场右侧光屏上有粒子击中的范围的长度。

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6. (2021·南通模拟) 如图甲所示，真空室中电极K发出的电子（初速度不计）经电场加速后，由小孔S沿两平行金属板M、N的中心线 $\text{[math]}$ 射入板间，加速电压为 $\text{[math]}$ ，M、N板长为L，两板相距 $\text{[math]}$ 。加在M、N两板间电压u随时间t变化的关系图线如图乙所示，图中 $\text{[math]}$ 未知，M、N板间的电场可看成匀强电场，忽略板外空间的电场在每个粒子通过电场区域的极短时间内，两板电压可视作不变板M、N右侧距板右端 $\text{[math]}$ 处放置一足够大的荧光屏PQ，屏与 $\text{[math]}$ 垂直，交点为 $\text{[math]}$ 在M、N板右侧与PQ之间存在一范围足够大的有界匀强磁场区，PQ为匀强磁场的右边界，磁场方向与纸面垂直。已知电子的质量为m，电荷量为e。

（1）求电子加速至O点的速度大小 $\text{[math]}$ ；
（2）若所有电子都能从M、N金属板间射出，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
（3）调整磁场的左边界和磁感应强度大小B，使从M板右侧边缘射出电场的电子，经磁场偏转后能到达 $\text{[math]}$ 点，求磁感应强度的最大值 $\text{[math]}$ 。

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7. (2021·岳阳模拟) 如图所示，O为正交坐标系xOy的原点，y≥0的空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。一粒子质量为m，带正电q，从O点以大小为v₀的速度进入x≥0且y≥0的空间（即图中的θ满足0≤θ≤90°），v₀垂直于磁场，不计粒子的重力。求：

（1）粒子在磁场中运动的半径R；
（2）粒子可以沿两条不同的路径到达坐标系第二象限的某一位置P（图中未画出），且长路径耗时是短路径耗时的两倍，求P到坐标原点的距离d；
（3）若y≤0的空间存在电场，电场强度为E，方向沿+y方向，求粒子只经过一次电场就能回到O点对应的θ的值（可用三角函数表示）。

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8. (2021·福州模拟) 如图所示，在直角坐标Oxy平面的第一象限内存在着沿＋x方向的有界匀强电场I，其边界由曲线AB和坐标轴围成；在第二象限存在沿＋y轴方向匀强电场II；已知从电场I边界曲线AB上静止释放的电子都能从x轴上的P点离开电场II，P点在（-L，0）处，两电场强度大小均为E，电子电荷量为-e。求：

（1）电场I边界曲线AB满足的方程；
（2）从曲线AB上静止释放的电子离开电场II时的最小动能。

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9. (2021·安庆模拟) 水平地面上方竖直边界MN右侧离地面h=3m处有长为L=0.91m的光滑水平绝缘平台，平台的左边缘与MN重合，此时平台上方存在 $\text{[math]}$ N/C的匀强电场，电场方向与水平方向成θ角，指向左下方。平台右边缘有一质量m=0.1kg、电量q=0.1C的带正电小球，以初速度v₀=0.6m/s向左运动。小球在平台上运动的过程中，θ为45°至90°的某一确定值，小球离开平台左侧后恰好做匀速圆周运动。MN边界左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿竖直方向的匀强电场E₂（图中未画出），磁感应强度B=1.0T。小球可视为质点，g=10m/s²。求：

（1）电场强度E₂的大小和方向；
（2）小球离开平台左侧后在磁场中运动的最短时间；
（3）小球离开平台左侧后，小球落地点的范围（计算结果可以用根号表示）。

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10. (2021·玉溪模拟) 如图，初速度不计的电子经电压为U的电场加速后，沿OM方向垂直于磁场进入一个半径R＝ $\text{[math]}$ 的圆形匀强磁场区域（O为圆形磁场的中心，磁场方向垂直于圆而向外，磁感应强度大小为B）。电子穿出磁场后打在了与OM连线垂直的屏幕上的P点处，已知OM＝L，电子的电荷量为e、质量为m，电子所受重力不计。试计算：

（1）电子经过加速电场后的速度大小v。
（2） P点与M点的距离d为多少？

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11. (2021·成都模拟) 如图，竖直平面xOy内，第一象限有水平向右（沿x轴正方向）的匀强电场，第三象限有竖直向上（沿y轴正方向）的匀强电场，场强大小均为E；悬点在A（0，L）、长为L的绝缘细线悬挂着质量为m的带电小球（可视为质点），小球静止时，细线与竖直方向的夹角为θ=37°。撤去第一象限的电场，小球自由下摆到O点时，细线恰好断裂，然后小球经第三象限的电场，落在地面上距O点水平距离为d的B点。重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：

（1）小球的带电性质及电荷量q；
（2）小球运动到B点的速度大小。

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12. (2024高二下·兴文开学考) 跑道式回旋加速器的工作原理如图所示。两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界平行，相距为L，磁感应强度大小相等、方向垂直纸面向里。P、Q之间存在匀强加速电场，电场强度为E，方向与磁场边界垂直。质量为m、电荷量为+q的粒子从P飘入电场，多次经过电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口K引出，引出时的动能为E_K。已知K、Q的距离为d。

（1）求粒子出射前经过加速电场的次数N；
（2）求磁场的磁感应强度大小B；
（3）如果在Δt时间内有一束该种粒子从P点连续飘入电场，粒子在射出K之前都未相互碰撞，求Δt的范围。

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13. (2021·郑州模拟) 如图所示虚线 $\text{[math]}$ 左侧有一场强为 $\text{[math]}$ 的匀强电场，在两条平行的虚线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间存在着宽为L、电场强度为 $\text{[math]}$ 的匀强电场，在虚线 $\text{[math]}$ 右侧相距为L处有一个电场 $\text{[math]}$ 平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m）由A点无初速释放，A点到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，最后电子打在右侧的屏上， $\text{[math]}$ 连线与屏垂直，垂足为O，求：

（1）电子刚进入 $\text{[math]}$ 区域时的速度；
（2）电子刚射出电场 $\text{[math]}$ 时的速度方向与 $\text{[math]}$ 连线夹角 $\text{[math]}$ 的正切值 $\text{[math]}$ ；
（3）电子打到屏上的点 $\text{[math]}$ 到点O的距离Y。

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14. (2021·佛山模拟) 如图，M、N为水平放置的一对平行金属板间距为d，长 $\text{[math]}$ ，所加电压U=U₀。金属板右侧有一以CD、EF两竖直线为边界的匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图现有质量为m，带电量为q的负离子（重力不计）从静止开始经电场U₀加速后，沿水平方向由金属板MN正中央射入，经电场、磁场后从边界EF水平射出。求：

（1）离子射入金属板MN时初速度的大小；
（2）离子离开金属板MN时速度的大小和方向；
（3）离子在磁场中运动的时间。

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