甘肃省兰州市2020-2021学年高三下学期理数诊断试卷

更新时间：2021-05-20 浏览次数：126 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·兰州模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·兰州模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . -1 C . $\text{[math]}$ D . 1

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3. (2021·兰州模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的夹角大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·兰州模拟) 点 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 右支上一点， $\text{[math]}$ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线的一条渐进方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·兰州模拟) 2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有 $\text{[math]}$ 节车厢，两人进入车厢的方法数共有（）

A . 15种 B . 30种 C . 36种 D . 64种

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6. (2021·兰州模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则函数 $\text{[math]}$ 的图象为（）

A . B . C . D .

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7. (2021·兰州模拟) 《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈.”意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高4丈.将该谷堆模型看作一个圆锥， $\text{[math]}$ 取近似值 $\text{[math]}$ ，则该圆锥外接球的表面积约为（）

A . 55平方丈 B . 75平方丈 C . 110平方丈 D . 150平方丈

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8. (2021·兰州模拟) 一组数据 $\text{[math]}$ 的平均数为 $\text{[math]}$ ，现定义这组数据的平均差 $\text{[math]}$ .下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图

根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 无法确定

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9. (2021·兰州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的一个极值点为1，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021·兰州模拟) 下列四个命题：
①已知 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 是一个平面，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .②命题“ $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ”.③函数 $\text{[math]}$ 的对称中心为 $\text{[math]}$ .④函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的增函数.

其中真命题的个数是（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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11. (2021·兰州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 外一点，经过点 $\text{[math]}$ 的光线被 $\text{[math]}$ 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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12. (2021·兰州模拟) 已知奇函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象所有交点的横坐标之和等于（）

A . 0 B . 9 C . 11 D . 17

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二、填空题

13. (2021·兰州模拟) “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.2019年1月 $\text{[math]}$ 日，“学习强国”学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习统计学习积分得到的频率分布直方图如图所示.若学习积分在 $\text{[math]}$ （单位：万分）的人数是32人，则该单位共有名党员，若学习积分超过2万分的党员可获得“学习达人”称号，则该单位有名党员能获得该称号.

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14. (2021·兰州模拟) 若 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. (2021·兰州模拟) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为．

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16. (2021·兰州模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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三、解答题

17. (2021·兰州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. (2021·兰州模拟) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. (2021·兰州模拟) 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 $\text{[math]}$ ，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
2. （2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 $\text{[math]}$ 的范围.
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20. (2021·兰州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 及点 $\text{[math]}$ .
1. （1）以抛物线焦点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，求圆 $\text{[math]}$ 与抛物线交点的横坐标；
2. （2） $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是抛物线上不同的两点，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴不垂直，弦 $\text{[math]}$ 的垂直平分线恰好经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的范围.
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21. (2021·兰州模拟) 已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 是否存在极值，并说明理由；
2. （2）求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 恒成立.
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22. (2021·兰州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，双曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.以原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，设双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，分别在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上任取点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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23. (2021·兰州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，画出函数 $\text{[math]}$ 的图象：
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的范围.
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