2021年高考理数押题密卷A（新课标III卷）

更新时间：2021-07-01 浏览次数：240 类型：高考模拟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ （其中i为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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3. 为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织全体老师外出旅游，并给出了两个方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，那么该校全体老师中女老师的比例为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高二上·广州期中) 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为 $\text{[math]}$ ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知 $\text{[math]}$ ，结果取整数）（）

A . 23天 B . 33天 C . 43天 D . 50天

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5. 过椭圆内定点 $\text{[math]}$ 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点 $\text{[math]}$ 的“好弦”．在椭圆 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 的所有“好弦”的长度之和为（）

A . 120 B . 130 C . 240 D . 260

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6. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为单位向量，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 的一条对称轴为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调递减函数 C . $\text{[math]}$ 的对称中心为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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10. 设函数 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，则a+b的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 坐标原点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.若点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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12. (2023高三上·南部月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若实数 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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14. $\text{[math]}$ 的展开式的常数项是．

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15. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的顶点均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 大小为120°，当 $\text{[math]}$ 面积最大时，球 $\text{[math]}$ 的表面积为．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是奇函数，定义域为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），当函数 $\text{[math]}$ 有3个零点时，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题：共70分。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，证明 $\text{[math]}$
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18. 某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在 $\text{[math]}$ 分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．

（参考公式： $\text{[math]}$ ，期中 $\text{[math]}$ ）

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.005	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）求 $\text{[math]}$ 的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；

（3）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有97.5％的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？

	属于“高分选手”	不属于“高分选手”	合计
男生
女生
合计

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19. 如图，在五面体 $\text{[math]}$ 中，面 $\text{[math]}$ 为正方形，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：CD∥平面ABFE；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的大小．
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ .左焦点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 外部，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ 的周长最大值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上关于原点对称的两个点， $\text{[math]}$ 为左顶点，若直线 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点，试判断以 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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四、（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. (2022·河南模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 的直角坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$
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五、 [选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .证明： $\text{[math]}$ .
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