2013年高考理数真题试卷（北京卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：878 类型：高考真卷

一、选择题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. (2013·北京理) 已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）

A . {0} B . {﹣1，0} C . {0，1} D . {﹣1，0，1}

答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2013·北京理) 在复平面内，复数（2﹣i）²对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2013·北京理) “φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

答案解析收藏纠错 + 选题
4. (2013·北京理)
执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
5. (2013·北京理) 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e^x关于y轴对称，则f（x）=（）

A . e^x+1 B . e^x^﹣¹ C . e^﹣^x+1 D . e^﹣^x^﹣¹

答案解析收藏纠错 + 选题
6. (2013·北京理) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则其渐近线方程为（）

A . y=±2x B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
7. (2013·北京理) 直线l过抛物线C：x²=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
8. (2013·北京理) 设关于x，y的不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域内存在点P（x₀ ， y₀），满足x₀﹣2y₀=2，求得m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

二、填空题

9. (2013·北京理) 在极坐标系中，点（2， $\text{[math]}$ ）到直线ρsinθ=2的距离等于．

答案解析收藏纠错 + 选题
10. (2023高二上·北京市月考) 若等比数列{a_n}满足a₂+a₄=20，a₃+a₅=40，则公比q=；前n项和S_n=．

答案解析收藏纠错 + 选题
11. (2013·北京理) 如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=．

答案解析收藏纠错 + 选题
12. (2013·北京理) 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．

答案解析收藏纠错 + 选题
13. (2013·北京理) 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若 $\text{[math]}$ （λ，μ∈R），则 $\text{[math]}$ =．

答案解析收藏纠错 + 选题
14. (2013·北京理) 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在线段D₁E上，点P到直线CC₁的距离的最小值为．

答案解析收藏纠错 + 选题

三、解答题．解答应写出文字说明，演算步骤

15. (2013·北京理) 在△ABC中，a=3，b=2 $\text{[math]}$ ，∠B=2∠A．
1. （1）求cosA的值；
2. （2）求c的值．
答案解析收藏纠错 + 选题
16. (2013·北京理) 如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
1. （1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
2. （2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
3. （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
答案解析收藏纠错 + 选题
17. (2013·北京理) 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
1. （1）求证：AA₁⊥平面ABC；
2. （2）求证二面角A₁﹣BC₁﹣B₁的余弦值；
3. （3）证明：在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B，并求 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏纠错 + 选题
18. (2013·北京理) 设l为曲线C：y= $\text{[math]}$ 在点（1，0）处的切线．
1. （1）求l的方程；
2. （2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
答案解析收藏纠错 + 选题
19. (2013·北京理) 已知A，B，C是椭圆W： $\text{[math]}$ 上的三个点，O是坐标原点．
1. （1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
2. （2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
答案解析收藏纠错 + 选题
20. (2013·北京理) 已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n ，第n项之后各项a_n+1 ， a_n+2…的最小值记为B_n ， d_n=A_n﹣B_n ．
1. （1）若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N^* ， a_n+4=a_n），写出d₁ ， d₂ ， d₃ ， d₄的值；
2. （2）设d是非负整数，证明：d_n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
3. （3）证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
答案解析收藏纠错 + 选题