人教A版（2019）必修第二册《8.6空间直线、平面的垂直》...

更新时间：2023-03-08 浏览次数：85 类型：同步测试

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 如图，等边三角形 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 与中位线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）

A . 恒有 $\text{[math]}$ B . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不可能垂直 C . 恒有平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 动点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影在线段 $\text{[math]}$ 上

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2. 在长方体 $\text{[math]}$ 中，正方形 $\text{[math]}$ 的面积为16， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则该长方体的体积为（）

A . 64 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，记直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若经过点 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知空间两不同直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，两不同平面 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

其中正确的命题是（）

A . ①④ B . ②④ C . ① D . ④

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7. 已知平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则“直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 已知 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9. 下列命题，其中正确的是（）

A . 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B . 有三个角是直角的四边形是矩形 C . 如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D . 如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

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10. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图在堑堵 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 四面体 $\text{[math]}$ 为鳖臑 B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为定值 $\text{[math]}$

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11. 在正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下面四个结论中成立的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面PDF B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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12. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正三角形，侧棱垂直于底面， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．给出下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 异面 B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 若该三棱柱有内切球，则 $\text{[math]}$ D . 若该三棱柱所有棱长均相等，则侧面对角线与棱成 $\text{[math]}$ 角的共有30对

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13. 如图，多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直，则下列结论中正确的是（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点的球的表面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14. 如图，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 是矩形．
求证： $\text{[math]}$ ．

证明如下：法一：

$\text{[math]}$ 是正三角形且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ，

又 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ 且及 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ 又 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

法二： $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ ．

又 $\text{[math]}$ 且面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ．

又 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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15. 已知在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若在边 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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16. 已知三角形 $\text{[math]}$ 所在平面与矩形 $\text{[math]}$ 所在平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 都在同一球面上，则此球的表面积等于.

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17. 已知球的表面积为 $\text{[math]}$ ，球面上有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点．如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球心到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

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18. 将边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成直二面角 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角．

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四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，判断直线 $\text{[math]}$ 是否在平面 $\text{[math]}$ 内，说明理由.
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20. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，四边形 $\text{[math]}$ 为梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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21. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是正三角形，且垂直于底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$
2. （2）记二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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22. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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23. 如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是正方形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
2. （2）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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