广东省深圳市龙岗区2024届高三上学期期末质量监测数学试题

更新时间：2024-04-16 浏览次数：13 类型：期末考试

一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. (2024高三上·龙岗期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·龙岗期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2024高三上·龙岗期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 为其前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·龙岗期末) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·龙岗期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·龙岗期末) 过圆 $\text{[math]}$ 上一点A作圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点为B，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·龙岗期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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8. (2024高三上·龙岗期末) 已知矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿BD折起至 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与AD所成角最大时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. (2024高三上·龙岗期末) 关于二项式 $\text{[math]}$ 的展开式，下列结论正确的是（）

A . 展开式所有项的系数和为 $\text{[math]}$ B . 展开式二项式系数和为 $\text{[math]}$ C . 展开式中第5项为 $\text{[math]}$ D . 展开式中不含常数项

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10. (2024高三上·龙岗期末) 已知 $\text{[math]}$ 是夹角为 $\text{[math]}$ 的单位向量， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·龙岗期末) 下列说法中正确的是（）

A . 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B . 已知一组数据1，2，m ， 6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 $\text{[math]}$ C . 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D . 若样本数据 $\text{[math]}$ 的标准差为8，则数据 $\text{[math]}$ 的标准差为32

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12. (2024高三上·龙岗期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，准线与x轴的交点为P ，过点F的直线与抛物线交于点M ， N ，过点P的直线与抛物线交于点A ， B ，则

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. (2024高三上·龙岗期末) 函数y=cos²x的最小正周期为．

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14. (2024高三上·龙岗期末) 有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有种不同的选法．

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15. (2024高三上·龙岗期末) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点， $\text{[math]}$ 上两点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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16. (2024高三上·龙岗期末) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），若函数 $\text{[math]}$ 恰有一个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (2024高三上·龙岗期末) 记 $\text{[math]}$ 的内角的A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求B；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2024高三上·龙岗期末) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.
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19. (2024高三上·龙岗期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对任意正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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20. (2024高三上·龙岗期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的左、右两支分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积为5．
1. （1）求双曲线的标准方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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21. (2024高三上·龙岗期末) 某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．
1. （1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求 $\text{[math]}$ ，并说明上述监控生产过程规定的合理性；
2. （2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为 $\text{[math]}$ ．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
  参考数据： $\text{[math]}$ ．
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22. (2024高三上·龙岗期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．
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