广东省茂名市2024届高三下学期4月二模考试数学试题

更新时间：2024-06-17 浏览次数：32 类型：高考模拟

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. (2024高三下·茂名模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·茂名模拟) 与向量 $\text{[math]}$ 方向相同的单位向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·鹤山月考) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 11 B . 50 C . 55 D . 60

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4. (2024高三下·茂名模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. (2024高三下·茂名模拟) 已知变量x和y的统计数据如表：
x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
根据上表可得回归直线方程 $\text{[math]}$ ，据此可以预测当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ( )

A . 8.5 B . 9 C . 9.5 D . 10

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6. (2024高三下·茂名模拟) 已知抛物线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦点为F ， C的准线与x轴的交点为M ，点P是C上一点，且点P在第一象限，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的偶函数，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的所有零点的和是（）

A . 20 B . 18 C . 16 D . 14

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8. (2024高三下·茂名模拟) 已知m ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为P ，点Q是圆C： $\text{[math]}$ 上的一点，若PQ与C相切，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·茂名模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且在 $\text{[math]}$ 上单调递增，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值可以是（）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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10. (2024高三下·茂名模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 仅有一个公共点 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 仅有一个公共点 C . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有两个公共点，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 没有公共点，则 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·茂名模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值可以是（）

A . e B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三下·茂名模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是.

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13. (2024高三下·茂名模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三下·茂名模拟) 如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，过点 $\text{[math]}$ 的平面截三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球所得的截面面积的最小值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. (2024高三下·茂名模拟) 如图，几何体是圆柱的一半，四边形 $\text{[math]}$ 是圆柱的轴截面， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为半圆弧 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的一点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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16. (2024高三下·茂名模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值.
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17. (2024高二下·乐平期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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18. (2024高三下·茂名模拟) 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，且不同对阵的结果相互独立．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
  ①求甲获得第四名的概率；
  ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
2. （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
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19. (2024高三下·茂名模拟) 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第 $\text{[math]}$ 个等差数列的第 $\text{[math]}$ 项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若m为给定的值，且对任意n有 $\text{[math]}$ ，证明：存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为等比数列，证明： $\text{[math]}$ .
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