【高考真题】2024年北京市高考数学卷

更新时间：2024-06-17 浏览次数：105 类型：高考真卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. (2024·北京) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024·北京) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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3. (2024·北京) 求圆 $\text{[math]}$ 的圆心到 $\text{[math]}$ 的距离（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·北京) $\text{[math]}$ 的二项展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 15 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024·北京) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”的（）条件．

A . 必要而不充分条件 B . 充分而不必要条件 C . 充分且必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. (2024·北京) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. (2024·北京) 记水的质量为 $\text{[math]}$ ，并且d越大，水质量越好．若S不变，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

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8. (2024·北京) 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该四棱锥的高为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2024·北京) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024·北京) 若集合 $\text{[math]}$ 表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. (2024·北京) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，则焦点坐标为．

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12. (2024·北京) 已知 $\text{[math]}$ ，且α与β的终边关于原点对称，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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13. (2024·北京) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，则过 $\text{[math]}$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．

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14. (2024·北京) 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为．

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15. (2024·北京) 已知 $\text{[math]}$ ， {a_n}，{b_n} 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.
① {a_n}，{b_n} 均为等差数列，则M中最多一个元素；
② {a_n}，{b_n} 均为等比数列，则M中最多三个元素；
③ {a_n} 为等差数列， {b_n} 为等比数列，则M中最多三个元素；
④ {a_n}单调递增， {b_n} 单调递减，则M中最多一个元素

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. (2024·北京) 在△ABC中， $\text{[math]}$ ， A为钝角， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
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17. (2024·北京) 已知四棱锥P-ABCD ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若F是PE中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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18. (2024·北京) 已知某险种的保费为 $\text{[math]}$ 万元，前3次出险每次赔付 $\text{[math]}$ 万元，第4次赔付 $\text{[math]}$ 万元
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
1. （1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
2. （2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $\text{[math]}$ ，估计 $\text{[math]}$ 的数学期望；
  （ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $\text{[math]}$ ，已赔偿过的增加 $\text{[math]}$ ．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
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19. (2024·北京) 已知椭圆方程C： $\text{[math]}$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆交于A ， B ， $\text{[math]}$ ，连接AC交椭圆于D ．
1. （1）求椭圆方程和离心率；
2. （2）若直线BD的斜率为0，求t ．
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20. (2024高二下·遂宁月考) 已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线为l ．
1. （1）若切线l的斜率 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 单调区间；
2. （2）证明：切线l不经过 $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，切线l与y轴交于点B时．当 $\text{[math]}$ ，符合条件的A的个数为？
  （参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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21. (2024·北京) 设集合M={（i，j，s，t）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，s∈{5，6}，t∈{7，8}，2|（i+j+s+t）}．对于给定有穷数列A：{a_n}（1≤n≤8），及序列Ω：ω₁ ， ω₂ ， …，ω_s ， ω_k=（i_k ， j_k ， s_k ， t_k）∈M，定义变换T：将数列A的第i₁ ， j₁ ， s₁ ， t₁项加1，得到数列T₁（A）；将数列T₁（A）的第i₂ ， j₂ ， s₂ ， t₂项加1，得到数列T₂T₁（A）…；重复上述操作，得到数列T_s⋯T₂T₁（A），记为Ω（A）．
1. （1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；
2. （2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a₁+2，a₂+6，a₃+4，a₄+2，a₅+8，a₆+2，a+4，a₈+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；
3. （3）若数列A的各项均为正整数，且a₁+a₃+a₅+a₇为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω（A）为常数列”的充要条件为“a₁+a₂=a₃+a₄=a₅+a₆=a₇+a₈”．
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