广东省茂名市2024届高三一模数学试卷

更新时间：2024-06-28 浏览次数：24 类型：高考模拟

一、选择题

1. (2024·茂名模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的子集个数为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 8

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2. (2024·乌江期末) “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2024·茂名模拟) 从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（）

A . 33 B . 45 C . 84 D . 90

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4. (2024·茂名模拟) 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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5. (2024·茂名模拟) 椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024·茂名模拟) 函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为 $\text{[math]}$ 上的奇函数，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . 2

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7. (2024·茂名模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024·茂名模拟) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 是递减数列，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

9. (2024·茂名模拟) 若 $\text{[math]}$ 是区间 $\text{[math]}$ 上的单调函数，则实数 $\text{[math]}$ 的值可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 4

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10. (2024·茂名模拟) 过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则（）

A . $\text{[math]}$ 的准线方程为 $\text{[math]}$ B . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 的准线相切 C . 若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 中点的横坐标为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 有且只有一条

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11. (2024·茂名模拟) 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为60° B . 过空间中一点有且仅有两条直线与 $\text{[math]}$ 所成的角都是60° C . 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为 $\text{[math]}$ D . 过直线 $\text{[math]}$ 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形

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12. (2024·茂名模拟) 从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是锐角的概率为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是锐角的概率为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是锐角三角形的概率为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的面积不大于5的概率为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2024·茂名模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024·茂名模拟) 如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为 $\text{[math]}$ ，则上层的最高点离平台的距离为.

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15. (2024·茂名模拟) 动点 $\text{[math]}$ 与两个定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离的最大值为.

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16. (2024·茂名模拟) 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. (2024·茂名模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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18. 已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到如下频率分布直方图.
1. （1）用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
2. （2）按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.
  （ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；
  （ⅱ）记这3个石榴中质量在区间 $\text{[math]}$ 内的个数为X ，求X的分布列与数学期望.
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19. 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，已知 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项积，证明： $\text{[math]}$ .
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20. (2024·茂名模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
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21. (2024·茂名模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的左焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线左支交于点 $\text{[math]}$ （异于点 $\text{[math]}$ ），直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
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22. (2024·茂名模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有定义，且对于任意不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 类函数”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 上的“3类函数”；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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