江苏省南通市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

更新时间：2024-08-23 浏览次数：4 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.02 B . 0.03 C . 0.07 D . 0.08

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2. 已知一个圆锥底面半径为 $\text{[math]}$ ，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 6

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4. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（）

A . 24 B . 36 C . 72 D . 144

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5. 函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的单调增区间为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有 $\text{[math]}$ 个红球”为 $\text{[math]}$ ， “从乙箱中取出的球是黑球”为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在空间中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不重合的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 恒过定点 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的极小值为0 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值大于 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 某小吃店的日盈利 $\text{[math]}$ （单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
1
2
$\text{[math]}$ 百元
5
4
2
2
1
由表中数据可得回归方程 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ．试预测当天平均气温为 $\text{[math]}$ 时，小吃店的日盈利约为百元．

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13. 设随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的方差为．

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14. 已知六棱锥的底面是边长为1正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为 $\text{[math]}$ ，则其外接球的表面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．
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16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下 $\text{[math]}$ 列联表：
男性
女性
喜欢
12
4
不喜欢
6
8
1. （1）能否有 $\text{[math]}$ 的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关?
2. （2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列．
  附： $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  0.050
  0.010
  0.001
  k
  3.841
  6.635
  10.828
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17. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）设曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性．
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上且与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合，平面 $\text{[math]}$ 交棱 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
3. （3）记点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共 $\text{[math]}$ 个，其中红球的个数为 $\text{[math]}$ ，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……， $\text{[math]}$ ，直到箱子中的球被摸完为止．
1. （1）求2号球为红球的概率（用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 表示）；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记随机变量 $\text{[math]}$ 为最后一个红球被摸出时的编号，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若箱子中白球、黑球的个数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．
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