重庆市南开中学2025届高三上学期8月第一次质量检测数学试题

更新时间：2024-12-26 浏览次数：0 类型：开学考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·沙坪坝开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·沙坪坝开学考) 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（　　）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分也非必要条件

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3. (2024高三上·沙坪坝开学考) $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；则不等式 $\text{[math]}$ 的解集（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·沙坪坝开学考) 函数 $\text{[math]}$ 的大致图象是（）

A . B . C . D .

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5. (2024高三上·沙坪坝开学考) 在同一直角坐标系内，存在一条直线 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，就称函数 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的“轴对称函数”．已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是自然对数的底数），则下列函数不是函数 $\text{[math]}$ 的“轴对称函数”的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·沙坪坝开学考) 设 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恰有三个不同的零点，且 $\text{[math]}$ 是其中的一个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. (2024高三上·沙坪坝开学考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是定义域为R的函数，且 $\text{[math]}$ 是奇函数， $\text{[math]}$ 是偶函数，满足 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·沙坪坝开学考) 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列式子中最小值为4的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·沙坪坝开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线与在点 $\text{[math]}$ 处的切线互相垂直，且分别与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则（）

A . $\text{[math]}$ 为定值 B . $\text{[math]}$ 为定值 C . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率取值范围是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·沙坪坝开学考) 我们知道，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数．已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形 C . 函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . 若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 为奇函数，且其图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象有2024个交点，记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. (2024高三上·广东月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. (2024高三上·沙坪坝开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三上·沙坪坝开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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16. (2024高三上·沙坪坝开学考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 关于实数 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ .
(1)当 $\text{[math]}$ 时，解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$
(2)是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ 若存在，求实数 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.

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17. (2024高三上·沙坪坝开学考) 掷两颗骰子，观察掷得的点数．
1. （1）设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由；
2. （2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．
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18. (2024高三上·沙坪坝开学考) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，动点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$
1. （1）求轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）在轨迹 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得过点 $\text{[math]}$ 作椭圆 $\text{[math]}$ 的两条切线互相垂直？若存在，求点 $\text{[math]}$ 的坐标：若不存在，请说明理由：
3. （3）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交轨迹 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，射线 $\text{[math]}$ 交轨迹 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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19. (2024高三上·沙坪坝开学考) 对于正实数a， $\text{[math]}$ ，我们熟知基本不等式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为a，b的几何平均数， $\text{[math]}$ 为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数： $\text{[math]}$ ．
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意正实数 $\text{[math]}$ 恒成立，求正实数m的取值范围．
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