江西省宜春市丰城中学2025届高三上学期开学考试数学试题

更新时间：2024-11-08 浏览次数：0 类型：开学考试

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. (2024高三上·丰城开学考) 已知数集 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则一定有：（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·丰城开学考) 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该平面图形的高为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. (2024高三上·丰城开学考) 设函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则函数 $\text{[math]}$ 的单调性（）

A . 与 $\text{[math]}$ 有关，且与 $\text{[math]}$ 有关 B . 与 $\text{[math]}$ 无关，且与 $\text{[math]}$ 有关 C . 与 $\text{[math]}$ 有关，且与 $\text{[math]}$ 无关 D . 与 $\text{[math]}$ 无关，且与 $\text{[math]}$ 无关

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4. (2024高三上·丰城开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2024高三上·丰城开学考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 7

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6. (2024高三上·丰城开学考) 已知直线y＝ax－a与曲线 $\text{[math]}$ 相切，则实数a＝（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·丰城开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ．由椭圆的光学性质知， $\text{[math]}$ 三点共线．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·丰城开学考) 设实数x，y满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数k的最大值为（）

A . 12 B . 24 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：（本大题共3小题，每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高三上·丰城开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·丰城开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有三个零点 C . 点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的对称中心 D . 若曲线 $\text{[math]}$ 有两条过点 $\text{[math]}$ 的切线，则 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·丰城开学考) 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列 $\text{[math]}$ 从左往右，依次对相邻两个元素 $\text{[math]}$ 比较大小，若 $\text{[math]}$ ，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列 $\text{[math]}$ 进行冒泡排序，首先比较 $\text{[math]}$ ，需要交换1次位置，得到新序列 $\text{[math]}$ ，然后比较 $\text{[math]}$ ，无需交换位置，最后比较 $\text{[math]}$ ，又需要交换1次位置，得到新序列 $\text{[math]}$ 最终完成了冒泡排序，同样地，序列 $\text{[math]}$ 需要依次交换 $\text{[math]}$ 完成冒泡排序.因此， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是交换2次的序列.现在对任一个包含 $\text{[math]}$ 个不等实数的序列进行冒泡排序 $\text{[math]}$ ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为 $\text{[math]}$ ，只需要交换1次的序列个数为 $\text{[math]}$ ，只需要交换2次的序列个数为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 序列 $\text{[math]}$ 是需要交换3次的序列 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

12. (2024高三上·丰城开学考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三上·丰城开学考) $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. (2024高三上·丰城开学考) 三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若 $\text{[math]}$ 平面ABD，则线段MN长度的最小值为．

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四、解答题（本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤．）

15. (2024高三上·丰城开学考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 边上的两条中线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求中线 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的余弦值；
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16. (2024高三上·丰城开学考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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17. (2024高三上·丰城开学考) 某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：
1. （1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
2. （2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 $\text{[math]}$ ，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
  附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
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18. (2024高三上·丰城开学考) 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，当 $\text{[math]}$ 时，试比较 $\text{[math]}$ 与2024的大小，并说明理由：
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，试讨论 $\text{[math]}$ 的零点个数．
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19. (2024高三上·丰城开学考) 对于求解方程 $\text{[math]}$ 的正整数解 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法．例如已知 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一组正整数解，则 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 代入等式右边，得 $\text{[math]}$ ，变形得： $\text{[math]}$ ，于是构造出方程 $\text{[math]}$ 的另一组解 $\text{[math]}$ ，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足 $\text{[math]}$ 最小，则依次重复上述过程可以得到方程 $\text{[math]}$ 的所有正整数解．已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，实轴长为2．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）方程 $\text{[math]}$ 的所有正整数解为 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 单调递增．
  ①求证： $\text{[math]}$ 始终是4的整数倍；
  ②将 $\text{[math]}$ 看作点，试问 $\text{[math]}$ 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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