上海市大同中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数...

更新时间：2024-11-08 浏览次数：1 类型：开学考试

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. (2024高三上·上海市开学考) 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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2. (2024高三上·上海市开学考) $\text{[math]}$ 为虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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3. (2024高三上·上海市开学考) $\text{[math]}$ 的二项展开式中的常数项为．

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4. (2024高三上·上海市开学考) 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为2，则 $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·上海市开学考) 设 $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为坐标原点，则 $\text{[math]}$ .

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6. (2024高三上·上海市开学考) 下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为.（回归系数精确到0.01）
广告费用（万元）
30
26
21
17
11
18
13
16
17
23
25
29
销售额（万元）
843
725
621
587
485
608
523
554
600
703
728
792

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7. (2024高三上·上海市开学考) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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8. (2024高三上·上海市开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 的面积为2，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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9. (2024高三上·上海市开学考) 将由曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所围成的封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为 $\text{[math]}$ ，则该旋转体 $\text{[math]}$ 的体积为.

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10. (2024高三上·上海市开学考) 某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为.

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11. (2024高三上·湖北月考) 如图，半椭圆 $\text{[math]}$ 与半椭圆 $\text{[math]}$ 组成的曲线称为“果圆”，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .“果圆”与x轴的交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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12. (2024高三上·上海市开学考) 已知三角形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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二、选择题（本题共4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.

13. (2024高三上·上海市开学考) 事件A与B独立， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2024高三上·上海市开学考) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且公差 $\text{[math]}$ ，则其前n项和取得最大值时n的值为（）

A . 8 B . 9 C . 10 D . 11

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15. (2024高三上·上海市开学考) 经过点 $\text{[math]}$ 可以作与曲线 $\text{[math]}$ 相切的不同直线共有（）

A . 0条 B . 1条 C . 2条 D . 3条

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16. (2024高三上·上海市开学考) 如图所示，四面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 的三等分点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ ，设四面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.

17. (2024高三上·上海市开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
（1）若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）在（1）的条件下，若函数 $\text{[math]}$ 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；并求最小正实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位所对应的函数是偶函数.

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18. (2024高三上·上海市开学考) 如图，在直角梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为AB的中点，沿DE将 $\text{[math]}$ 折起，使得点A到点P位置，且 $\text{[math]}$ ， M为PB的中点，N是线段BC上的动点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面PBC；
2. （2）当三棱锥 $\text{[math]}$ 与四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积之比为 $\text{[math]}$ 时，求直线EN与平面PBC所成角的正弦值.
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19. (2024高三上·上海市开学考) 某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.
1. （1）求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
2. （2）设当天小王尝试该邮箱的密码次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.
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20. (2024高三上·上海市开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点M到 $\text{[math]}$ 的两条渐近线的距离之积；
2. （2）求经过点Q的双曲线 $\text{[math]}$ 的切线方程；
3. （3）设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作 $\text{[math]}$ 的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明： $\text{[math]}$ .
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21. (2024高三上·上海市开学考) 设 $\text{[math]}$ ，已知函数 $\text{[math]}$ 的解析为 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）证明当 $\text{[math]}$ 时函数 $\text{[math]}$ 至多有两个零点；
3. （3）如果函数 $\text{[math]}$ 有3个不同的零点，分别设为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围；如果 $\text{[math]}$ ，进一步证明存在唯一的实数a，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等差数列.
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