专题14 函数模型及其应用-高考数学一轮复习讲义（新高考专用...

更新时间：2024-12-28 浏览次数：2 类型：一轮复习

一、单选题

1. 基本再生数R₀与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $\text{[math]}$ 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R₀ ， T近似满足R₀ =1+rT.有学者基于已有数据估计出R₀=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）

A . 1.2天 B . 1.8天 C . 2.5天 D . 3.5天

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2. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）

A . 10名 B . 18名 C . 24名 D . 32名

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二、多选题

3. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $\text{[math]}$ ，其中常数 $\text{[math]}$ 是听觉下限阈值， $\text{[math]}$ 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离 $\text{[math]}$
声压级 $\text{[math]}$
燃油汽车
10
$\text{[math]}$
混合动力汽车
10
$\text{[math]}$
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $\text{[math]}$ 处测得实际声压分别为 $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、单选题

4. 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔 $\text{[math]}$ 测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度 $\text{[math]}$ 随时间 $\text{[math]}$ 变化的规律（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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四、多选题

5. 小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间 $\text{[math]}$ （单位：天）之间的函数关系 $\text{[math]}$ ．则下列说法中正确的是（）

A . 随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低 B . 第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C . $\text{[math]}$ 天后，小菲的单词记忆保持量不低于40% D . $\text{[math]}$ 天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

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6. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C . 注射该药物 $\text{[math]}$ 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D . 注射一次治疗该病的有效时间长度为 $\text{[math]}$ 时

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五、填空题

7. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第号区域的总产量最大．

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8. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： $\text{[math]}$ ）与时间t（单位：月）满足关系式： $\text{[math]}$ （a为常数），记 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．给出下列四个结论：
①设 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
②存在唯一的实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，其中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数；
③常数 $\text{[math]}$ ；
④记浮萍蔓延到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所经过的时间分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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六、多选题

9. 英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入 $\text{[math]}$ ，国民消费 $\text{[math]}$ 和国民投资 $\text{[math]}$ ，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有： $\text{[math]}$ .其中常数 $\text{[math]}$ 表示房租､水电等固定消费， $\text{[math]}$ 为国民“边际消费倾向”.则（）

A . 若固定 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大 B . 若固定 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高 C . 若 $\text{[math]}$ ，则收入增长量是投资增长量的5倍 D . 若 $\text{[math]}$ ，则收入增长量是投资增长量的 $\text{[math]}$

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七、填空题

10. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下图所示：
横轴为投资时间（单位：天），纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是；
①投资3天以内（含3天），采用方案一；
②投资4天，不采用方案三；
③投资6天，采用方案二；
④投资10天，采用方案二.

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八、填空题

11. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设．

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12. 现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩 $\text{[math]}$ 粒.则红豆和白豆共有粒.

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九、单选题

13. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图象如图的函数可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 沿着边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 运动，记 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的面积表示为关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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十、填空题

15. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 $\text{[math]}$ ，则至少经过次过滤才能达到市场要求．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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16. 当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 $\text{[math]}$ ，（其中 $\text{[math]}$ 为生物死亡之初体内的碳14含量， $\text{[math]}$ 为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为 $\text{[math]}$ ，则该生物的死亡时间大约是年前．

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十一、填空题

17. 如图，在扇形 $\text{[math]}$ 中，半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在半径 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 在半径 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长的取值范围是．

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十二、解答题

18. 太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度 $\text{[math]}$ （E为入射光能量且 $\text{[math]}$ 为入射光入射有效面积），电池板转换效率 $\text{[math]}$ 与入射光功率密度 $\text{[math]}$ 成反比，且比例系数为k．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；
2. （2）现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量 $\text{[math]}$ ，锂离子蓄电池的放电量 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
  注：①蓄电池电能储存量 $\text{[math]}$ ；
  ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
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十三、单选题

19. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于不相等的实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现有如下命题：
①对于任意的实数 $\text{[math]}$ ，存在不相等的实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得m=n；②对于任意的实数 $\text{[math]}$ ，存在不相等的实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，下列判断正确的是（）

A . ①和②均为真命题 B . ①和②均为假命题 C . ①为真命题，②为假命题 D . ①为假命题，②为真命题

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十四、填空题

20. 长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．

记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是．

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