专题04 基本不等式-高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

更新时间：2024-12-28 浏览次数：5 类型：一轮复习

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 是互不相同的锐角，则在 $\text{[math]}$ 三个值中，大于 $\text{[math]}$ 的个数的最大值是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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2. (2024高三上·成都月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两个焦点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 13 B . 12 C . 9 D . 6

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3. 下列函数中最小值为4的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

4. (2024高三上·广东月考) 若x，y满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

5. $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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6. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 中，点D在边BC上， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ ．

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7. (2024高一上·正定月考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题

8. (2025·) 记 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 求B；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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五、单选题

9. (2024高一上·泸县期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）．

A . 4 B . 6 C . 8 D . 12

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10. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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六、多选题

11. 下列命题中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值是2 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值是3 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值是5 D . 若正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为3

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为1 C . $\text{[math]}$ 的最小值为8 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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七、填空题

13. (2024高一上·保定月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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八、单选题

15. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线分别交直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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九、多选题

17. 已知抛物线C： $\text{[math]}$ 的准线为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，以AB为直径的圆与 $\text{[math]}$ 相交 B . 当 $\text{[math]}$ 时，以AB为直径的圆经过原点O C . 当 $\text{[math]}$ 时，点M到 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为2 D . 当 $\text{[math]}$ 时，点M到 $\text{[math]}$ 的距离无最小值

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18. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且 $\text{[math]}$ ，弦AC ， BD均过点P ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为定值 B . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为定值 D . $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为12

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十、填空题

19. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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20. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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十一、单选题

21. 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示， $\text{[math]}$ 为街道路面， $\text{[math]}$ 为消毒设备的高， $\text{[math]}$ 为喷杆， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面 $\text{[math]}$ ，喷射角 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则消毒水喷洒在路面上的宽度 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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22. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则这块四边形木板周长的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十二、多选题

23. 加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆 $\text{[math]}$ 相切，则下列说法正确的是（）

A . 椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ B . 椭圆C的蒙日圆方程为 $\text{[math]}$ C . 椭圆C的蒙日圆方程为 $\text{[math]}$ D . 长方形R的面积最大值为18

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24. 如图1，曲线C： $\text{[math]}$ 为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（）

A . 曲线C只有两条对称轴 B . 曲线C仅经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C . 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 D . 过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2

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十三、填空题

25. (2024高一上·讷河月考) 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为 $\text{[math]}$ ，则该矩形周长的最大值为.

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26. (2024高一上·朝阳月考) 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，三角形的面积 $\text{[math]}$ 可由公式 $\text{[math]}$ 求得，其中 $\text{[math]}$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $\text{[math]}$ ，则此三角形面积的最大值为．

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十四、单选题

27. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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28. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，抛物线上的点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为6，双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 在抛物线的准线上，过点 $\text{[math]}$ 向双曲线的渐近线作垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（）．

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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29. 若函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图象所过定点恰好在椭圆 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 6 B . 12 C . 16 D . 18

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30. 若正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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十五、多选题

31. 已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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32. 对于下列四种说法，其中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为4 B . $\text{[math]}$ 的最小值为1 C . $\text{[math]}$ 的最小值为4 D . $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$

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33. 已知正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十六、填空题

34. 已知正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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35. 若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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36. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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十七、解答题

37. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的取值范围；
2. （2）在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ 为正实数，且三数之和为m的最大值，求证： $\text{[math]}$
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38. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记（1）中不等式的解集为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 中的最大整数值为 $\text{[math]}$ ，若正实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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十八、单选题

39. 记 $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c成等比数列，以边 $\text{[math]}$ 为直径的圆的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积不小于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状为（）

A . 等腰非等边三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等边三角形

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十九、多选题

40. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为3 D . $\text{[math]}$

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二十、填空题

41. (2024高三上·芙蓉月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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〇、解答题

42. 记 $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 外接圆的半径为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为锐角，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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〇、单选题

43. 定义 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中的最小值．已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$

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〇、多选题

44. 实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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〇、填空题

45. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若当方程 $\text{[math]}$ 有四个不等实根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， ( $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ) 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则x₁·x₂=，实数 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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